【阅前提示】本篇出自『数理化自学丛书6677版』，此版丛书是“数理化自学丛书编委会”于1963-1966年陆续出版，并于1977年正式再版的基础自学教材，本系列丛书共包含17本，层次大致相当于如今的初高中水平，其最大特点就是可用于“自学”。当然由于本书是大半个世纪前的教材，很多概念已经与如今迥异，因此不建议零基础学生直接拿来自学。不过这套丛书却很适合像我这样已接受过基础教育但却很不扎实的学酥重新自修以查漏补缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我写的注解。

【资料图】

【山话嵓语】『数理化自学丛书』其实还有新版，即80年代的改开版，改开版内容较新而且还又增添了25本大学基础自学内容，直接搞出了一套从初中到大学的一条龙数理化自学教材大系列。不过我依然选择6677版，首先是因为6677版保留了很多古早知识，让我终于搞明白了和老工程师交流时遇到的奇特专业术语和计算模式的来由。另外就是6677版的版权风险极小，即使出版社再版也只会再版80年代改开版。我认为6677版不失为一套不错的自学教材，不该被埋没在故纸堆中，是故才打算利用业余时间，将『数理化自学丛书6677版』上传成文字版。

第三章物体的热膨胀

【山话||  本系列专栏中的力单位达因等于10⁻⁵牛顿；功的单位尔格等于10⁻⁷焦耳；热量的单位卡路里等于4.186焦耳。另外这套老教材中的力的单位常用公斤，如今是不允许的，力是不能使用公斤为单位的。】 

§3-3固体的线膨胀

【01】从这一节起我们将进一步从数量上来研究物体的热胀冷缩现象。我们先讨论固体，再讨论液体，至于气体，由于情况比较复杂，所以留在第四章中再来讨论。

【02】固体有一定的形状，因而也有一定的线度（球的直径，矩形梁的长、宽、高）。在一定的温度下，固体各个线度是一定的。当固体受热后使温度升高时，它的各个线度都要增长，这个现象叫做固体的线膨胀。

【03】固体的线膨胀究竟跟哪些因素有关呢？

【04】前面已经谈过，由不同物质组成的固体，即使它们原来的长度和升高的温度都相同，它们的线度的增长也不完全相同，有的增长得比较多，有的增长得比较少。所以，固体的线膨胀首先跟组成固体的物质有关。

【05】根据量度知道，尽管升高的温度相同，只要初温度不同，同一物体线度的增长也是不同的，高温时的线度增长要比低温时大一些，但是这种差别并不显著。例如，1米长的铜棒，温度由0°C 升高到1°C 时，增长0.0105毫米；由100°C 升高到101°C 时，增长0.0115毫米；由200°C 升高到201°C 时，增长0.0130毫米。因此，当温度变化不太大时，可以认为温度升高1°C 时，物体线度的增长是一个定值。也就是说，物体线度的增长和温度的升高成正比。

【06】如果把几根长度不同的铜棒都从0°C 加热到1℃，在量出它们的伸长后，可以看出，原来较长的铜棒伸长得较多，原来较短的铜棒伸长得较少。精确的测量证明，当温度的升高相同时，固体线度的增长跟它们原来的长度成正比。

【07】那么怎样来比较不同物质的膨胀特性呢？我们先讨论下面的例子。设有一根长1.5米的铁棒，在温度由0°C 升高到20°C 时伸长0.36毫米；而另一根长1.2米的铜棒，在温度由0°C 升高到15°C 时伸长0.31毫米。我们知道，直接根据0.36毫米和0.31毫米这两个数值是不能比较这两种物质的膨胀特性的，因为两根棒原来的长度不同，温度的升高也不同。但是，假如我们取相同长度的铁棒和铜棒，研究它们在升高相同温度时长度的增长，就可以比较它们的膨胀特性了。现在我们来计算一下，当温度升高1°C时，铁棒和铜棒每1米的伸长是1米的几分之几：

【08】计算的结果表示固体由于温度上升1°C 所引起的线度增长跟它在0℃ 时的线度之比，这个比值叫做线胀系数。由此可以看出，铜的线胀系数大于铁的线胀系数。

【09】温度下降1°C 所引起的线度的缩短跟它在0°C 时的线度之比，也等于线胀系数。

【10】可以按下面的方法来测定固体的线胀系数：先测出固体在0°C 时的长度 l₀，再测出它在 t°C 时的长度 l₁  。l₁－l₀ 是温度上升 t°C 时固体的伸长。假定温度升高1°C 时固体长度的增长是均匀的，那未就是温度升高10时圆体的伸长。如果用α来代表线胀系数，那么        

【11】如果 t＝1℃，l₀＝1个单位长度，那么 α＝l₁－l₀  。也就是说，线胀系数的数值等于单位长度的固体从0°C 升高到1°C 时的伸长值。

【12】由上式看出，线胀系数 α 的单位是1/度。

【13】下表所列是一些物质在通常温度范围内的线胀系数。

【14】必须注意，殷钢和石英的线胀系数很小，这使它们具有很大的实用价值。殷钢可以用于精密的仪器中，例如用来制造标准时钟的摆，就可以使时钟的快慢不大受温度变化的影响。其他如精密量度用的标准尺，也是由殷钢制成的。

【15】公式(3·1)也可以写成下面的形式：

【16】式中的(1＋αt)叫做线胀二项式，它表示固体在 t°C 时的长度同它在0°C 时长度的比值。

【17】如果知道了固体在0°C 时的长度和它的线胀系数，就可以很容易地根据这个公式计算出它在任意温度下的长度。

【18】但是通常我们所知道的不是物体在0°C 时的长度 l₀，而是在 t₁°C 时的长度l₁，那么应当怎样计算它在温度 t₂℃ 时的长度呢？

【19】当然，我们可以利用(3·2)式先求出物体在0°C 时的长度 l₀，再求出它在 t₂°C 时的长度 l₂，但是考虑到这样进行计算比较麻烦，因而一般都采用另外一个近似的公式。

【20】根据公式(3·2)，我们有。

【21】两式相除得  。

【22】上式的右端可以化成  。

【23】最后的分式项可以忽略不计，因为线胀系数已经很小，它的平方就更小了。

【24】于是，我们近似地得到

例1.铜线在0°C 时的长度是50米。问温度降到－20°C 时它的长度将发生怎样的变化？

【解】按题意：α＝0.000017/度，t＝－20℃，l₀＝5000厘米。

由式(3·1)可得 l₁－l₀＝α l₀ t＝0.000017×5000×(－20)＝－1.7厘米。

铜线缩短1.7厘米。

例2.铁棒在0°C 时的长度是40厘米。将它放入火炉中，伸长了4毫米。求火炉的温度。

【解】按题意：α＝0.000012/度，l₀＝40厘米，l₁-l₀＝0.4厘米。

由式(3·1)可得   。

例3.在30°C 时，用钢制游标卡尺测得零件的直径是9厘米。如果游标卡尺是在20°C 时进行刻度的，求测量的绝对误差。

【解】按题意：α＝0.000011/度，t₁＝20℃，t₂＝30℃，l₁＝9厘米。

因为一般测量时的温度都是20°C，所以游标卡尺在这一温度下刻度。现在在30℃下进行测量，则标尺的每一分度都要伸长，于是，测量就有误差。

t由公式(3·3)  l₂＝l₁[1＋α(t₂－t₁)]，可得测量误差为：l₂－l₁＝l₁α(t₂－t₁)＝9×0.000011×(30－20)＝0.001厘米。

零件的真实直径要比测量到的值大0.001厘米。

例4.在车床上加工用生铁制成的滑轮时，滑轮的温度上升到150°C，此时它的直径是48厘米。求它在20°C 时的直径。

【解】按题意：α＝0.00001，l₁＝20°C，t₂＝150°C，l₂＝48厘米。

问题是已知滑轮在150°C 的直径，要求它在20°C 时的直径。

由公式(3·3)  l₂＝l₁[1＋α(t₂－t₁)]，可得。

例5.钟摆振动的周期由公式 定，式中 T 是周期，l 是摆长，g 是重力加速度。如果钟本来是准确的，当温度升高20°C 时，它是否还能指示出准确的时刻？如果不能，试问它在一昼夜里快还是慢几秒钟？设摆杆是铁制的，它的线胀系数是0.000012/度。

【解】

当温度升高时，由于膨胀的结果，l 将要伸长一些。因此，摆的周期变长，而且在一定时间内（例如一昼夜）的振动次数要减少，所以钟也就走得慢一些。很明显，在一定的时间内钟摆的振动次数跟它的周期成反比。

设钟准确时其摆长为 l₁，一昼夜的振动次数为 n₁（为了计算方便起见，可以假定其为秒摆，这样 n₁＝86,400次)。温度升高20°C 后，设摆长变为 l₂，则 l₂＝l₁(1＋αt)＝l₁(1＋0.000012×20)＝1.00024 l₁，一昼夜的振动次数为 n₂，则，

因得，

所以一昼夜要慢86,400－86,389.6＝10.4秒。

习题3-3

1、对金属环进行加热时，它的内径发生怎样的变化？为什么？

2、旋床上旋着一个铁的圆柱体，在120°C 时，它的直径是160毫米，试问冷却到室温(20°C)时，它的直径是多少？【159.8毫米】

3、有一根铜尺和一根铁尺，在任何温度下，这两根尺的长度总是相差 l，问它们在0°C 时的长度各等于多少？[提示：设铜尺和铁尺在0℃时的长度分别为 l₀ 和l₀'，在 t°C 时的长度各为 lt 和 lt'，则 lt'－lt＝l ]【铜尺长2.4l，铁尺长3.4l】

4、黄铜球在20°C 时的直径为4厘米，要使这个球不能从内半径为20.1毫米的圆环中穿过，必须使它的温度升高到几度？【283°C】

5、玻璃瓶的玻璃塞直径为25毫米，为了要把塞子拔出，必须对瓶颈进行加热，当瓶颈热到150℃时，瓶塞只热到50℃  。这时瓶颈和瓶塞之间的空隙有多大？（设α＝0.0000044/度）【0.011毫米】

6、有一根实心棒和一根空心管，由同一种材料制成，直径和长度完全一样。问受热时，它们尺寸的改变是否相同？

7、钢琴中的弦张紧在钢的框上，问温度变化时，弦的张紧程度是否会改变？

8、如果对原来平衡的灵敏天平的一臂加热，是否还能保持平衡？那一边下垂？

9、钟摆的杆由黄铜制成，线胀系数为0.000019/度，在25°C 时钟恰好正确，问在0°C 时一天要差几秒钟？是走得快还是走得慢？【每天走快20.55秒】

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